Exercice de maths

Problème

On considère la suite définie par:

$U_0$ =0

et sa relation de récurrence: $U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+2}$ pour tout n appartenant à $\mathbb {N}$

On introduit aussi la fonction: $f:x\rightarrow \sqrt{x+2}$

1)Construire en utilisant la courbe représentative C de la fonction f et la droite y=x les 5 premiers termes
de la suite.

2)
a/Montrer que pour tout tout n appartenant à $\mathbb {N}$ ,on a:

$0\leq U_{n}\leq U_{n+1}\leq 2$

b/Conclure sur les variations et la convergence de la suite.

3)On se propose de démontrer que la suite converge vers 2.

a/Etablir que pour tout entier naturel n,on a:
$2-U_{n+1}=\frac{2-U_n}{2+\sqrt{U_{n}+2}}$

b/Prouver alors que pour tout n appartenant à $\mathbb {N}$ ,on a:
$0\leq 2-U_{n+1}\leq \frac{1}{2} (2-U_n)$

c/Démontrer que pour tout n appartenant à $\mathbb {N}$ ,on a:

$0\leq 2-U_{n}\leq \frac{1}{2^{n-1}}$

d/Conclure.